Question

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC∠ACB的平分线交于O点，试说明∠BOC=

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2

∠A+90°；
（2）如图2，若O为△ABC两外角平分线的交点，（1）中的关系式是否成立？若不成立，∠BOC与∠A又有怎样的关系？（无需说明理由）
（3）仿照（1）和（2），你能提出一个新问题并解决它吗？试一试！

Answer 1

分析：根据“三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质．
（1）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的关系，再列出∠BOC、∠OBC、∠OCB的关系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACB和∠OCB的关系；
（2）利用O为△ABC两外角平分线的交点，

1

2

∠DBC=

1

2

∠A+

1

2

∠ACB，同理可得：

1

2

∠BCE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，再利用三角形内角和定理以及外角和定理求出即可；
（3）列出∠A、∠ABC、∠ACE的关系，再列出∠OBC、∠O、∠OCE的关系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACE和∠OCE的关系．

解答：解：（1）∠BOC=

1

2

∠A+90．
如图：∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=

1

2

∠A+90°；

（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵O为△ABC两外角平分线的交点，
∴

1

2

∠DBC=

1

2

∠A+

1

2

∠ACB，
同理可得：∴

1

2

∠BCE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴

1

2

（∠ACB+∠ABC）=90°-

1

2

∠A，
∵180°-∠BOC=

1

2

∠DBC+

1

2

∠BCE=

1

2

∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∴180°-∠BOC=∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
180°-∠BOC=∠A+90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=90°-

1

2

∠A；

（3）如图，若O为∠ABC和∠ACB外角的平分线BO，CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？

答：∠BOC=

1

2

∠A．
证明：∵∠A+∠ABC=∠ACE．
∵∠OBC+∠BOC=∠OCE，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∵∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，
由以上各式可推得∠BOC=

1

2

∠A．

点评：此题主要考查了角平分线及三角形的内角和定理和三角形外角和等知识，熟练地应用其性质得出等量关系，再进行等量代换是解决问题的关键．