Question

如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折叠DE分别交AB、AC于E、G，连接GF，下列结论：
①∠FGD=112.5°；②BE=2OG；③S_△AGD=S_△OGD；④四边形AEFG是菱形．
其中正确结论的序号是

 

（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定,菱形的判定,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）由四边形ABCD是正方形和折叠性得出∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=45°÷2=22.5°，再由三角形的内角和求出∠FGD=112.5°．故①正确，
（2）由四边形ABCD是正方形和折叠，判断出四边形AEFG是平行四边形，再由AE=EF，得出四边形AEFG是菱形．利用45°的直角三角形得出GF=

2

OG，BE=

2

EF=

2

GF，得出BE=2OG，故②④正确．
（3）由四边形ABCD是正方形和折叠性，得到△ADG≌△FDG，所以S_△AGD=S_△FDG≠S_△OGD故③错误．

解答：解：（1）由四边形ABCD是正方形和折叠性知，
∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=45°÷2=22.5°，
∴∠FGD=180°-∠DFG-∠FDG=180°-45°-22.5°=112.5°，
故①正确，
（2）由四边形ABCD是正方形和折叠性得出，
∠DAG=∠DFG=45°，∠EAD=∠EFD=90°，AE=EF，
∵∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠DFG，
∴AB∥GF，
又∵∠BAC=∠BEF=45°，
∴EF∥AC，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴四边形AEFG是菱形．
∵在RT△GFO中，GF=

2

OG，
在RT△BFE中，BE=

2

EF=

2

GF，
∴BE=2OG，
故②④正确．
（3）由四边形ABCD是正方形和折叠性知，
AD=FD，AG=FG，DG=DG，
在△ADG和△FDG中，

AD=FD AG=FG DG=DG

∴△ADG≌△FDG（SSS），
∴S_△AGD=S_△FDG≠S_△OGD
故③错误．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了折叠问题，菱形的判定及正方形的性质，解题的关键是明确图形折叠前后边及角的大小没有变化．