Question

（1997•河北）a、b、c是一三角形的三边长，若方程组

x2-ax-y+b2+ac=0 ax-y+bc=0

只有一组解，则这个三角形一定是

等腰

三角形．

Answer 1

分析：先利用代入法把y消去得到x²-ax-（ax+bc）+b²+ac=0，整理得x²-2ax+b²+ac-bc=0，由于方程组只有一组解，即x只有一个值，则△=0，即4a²-4（b²+ac-bc）=0，变形得到（a-b）（a+b-c）=0而a+b-c≠0，则a-b=0．

解答：解：

x2-ax-y+b2+ac=0① ax-y+bc=0②

，
由②得y=ax+bc③，
把③代入①得x²-ax-（ax+bc）+b²+ac=0，
整理得x²-2ax+b²+ac-bc=0，
∵方程组只有一组解，
∴△=0，即4a²-4（b²+ac-bc）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a+b＞c，
∴a-b=0，
即a=b，
∴此三角形为等腰三角形．
故答案为等腰．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．也考查了因式分解的应用．