Question

一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD。
⑴当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
⑵已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米。
①求隧道截面的面积S（米²）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14，结果精确到0.1米）

Answer 1

解：（1）当AD=4米时，S_半圆==2π（米²）
（2）①∵AD=2r，AD+CD=8，
∴CD=8-AD=8-2r，
∴S==；
②由①知CD=8-2r，
又∵2米≤CD≤3米，
∴2≤8-2r≤3，
∴2.5≤r≤3，
由①知S==-2.43r²+16r=，
∵-2.43＜0，
∴函数图象为开口向下的抛物线，
∵函数对称轴r=≈3.3，
又2.5≤r≤3＜3.3，
由函数图象知，在对称轴左侧S随的增大而增大，
故当r=3时，有S最大值，
≈=26.13≈26.1（米²）
答：隧道截面的面积S的最大值约为26.1米²。