Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC与⊙O的位置关系是

 

；
（2）若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD=6，CE=4，求AD的长为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角的性质解答；
（2）根据相似三角形的性质及中位线定理解答；

解答：（1）证明：AB是⊙O直径，
∴∠D=90°，
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°．
∵OB是半径，
∴BC与⊙O相切；

（2）解：∵OC垂直平分BD，
∴BE=

1

2

BD=3，
∵BE⊥OC，
∴∠BEO=∠BEC=90°，∠EOB+∠OBE=90°．
∵∠OBE+∠EBC=∠OBC=90°，∠OBE+∠EBC=∠OBC=90°，
∴∠EOB=∠EBC，
∴△OBE∽△BCE，
∴

OE

BE

=

BE

EC

，
∴OE=

BE2

EC

=

32

4

=

9

4

．
∵OA=OB，BE=DE，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD=2OE=

9

2

．

点评：此题考查的是三角形与圆的位置关系，中位线定理，以及相似三角形的性质．