题目内容
如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD于点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=12，EC=10，求AD的长．
分析：（1）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可；
（2）易得△BEC∽△ADB，根据相似三角形的性质可得
=
；代入数据可得答案．
（2）易得△BEC∽△ADB，根据相似三角形的性质可得
| BE |
| AD |
| EC |
| DB |
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，∠A+∠ABD=90°．
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵OC⊥BD，
∴∠OEB=90°，
∴OE∥AD，
∴BE=ED=
BD=6．
∵∠BEC=∠D=90°，∠DBC=∠A，
∴△BEC∽△ADB，
∴
=
，
∴
=
．
∴AD=7.2．
∴∠D=90°，∠A+∠ABD=90°．
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵OC⊥BD，
∴∠OEB=90°，
∴OE∥AD，
∴BE=ED=
| 1 |
| 2 |
∵∠BEC=∠D=90°，∠DBC=∠A，
∴△BEC∽△ADB，
∴
| BE |
| AD |
| EC |
| DB |
∴
| 6 |
| AD |
| 10 |
| 12 |
∴AD=7.2．
点评：本题考查的是切线的判定及相似三角形的判定与性质．注意要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
练习册系列答案
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