Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明

Answer 1

解：当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。理由如下：
∵P是优弧BAC的中点，
∴β_B=β_C。
∴PB=PC。
若△PAD是以AD为底边的等腰三角形，
则PA=PD。
又∵∠PAD=∠PCB，
∴△PAD∽△PCB。
∴∠DPA=∠BPC。
∴∠BPD=∠CPA。
在△PBD与△PCA中，
∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，
PD=PA ，
∴△PBD≌△PCA（SAS）。
∴BD=AC=4。
由于以上结论，反之也成立，
∴当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。