Question

6．如图，已知正比例函数y=kx（k＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k＞0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4sin40°
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4sin20°（1+cos20°+sin20°cos20°）

Answer 1

分析 如图所示直线OC、y轴关于直线y=kx对称，直线OD、直线y=kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y=kx的对称点，作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y=kx于M，作PN⊥直线y=kx垂足为N，此时AM+PM+PN=A′M+PM+PE=A′E最小（垂线段最短），在RT△A′EO中利用勾股定理即可解决．

解答 解：如图所示，直线OC、y轴关于直线y=kx对称，直线OD、直线y=kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y=kx的对称点．
作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y=kx于M，作PN⊥直线y=kx垂足为N，
∵PN=PE，AM=A′M，
∴AM+PM+PN=A′M+PM+PE=A′E最小（垂线段最短），
在RT△A′EO中，∵∠A′EO=90°，OA′=4，∠A′OE=3∠AOM=60°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA′=2，A′E=$\sqrt{OA{′}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴AM+MP+PN的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到等P的位置，题目有点难度，是最短问题中比较难的题目．