题目内容
综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和?OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和?O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,平移的性质,相似三角形的判定与性质
专题：压轴题
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．
解答：解：（1）设抛物线W的解析式为W=ax2+bx+c，
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（-2，3）三点，
∴
，
解得：
∴抛物线W的解析式为W=
x2-x．
∵W=
x2-x=
（x-2）2-1，
∴顶点D的坐标为（2，-1）．
（2）由?OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（-2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．
∴BE=3，OE=2，∴EA=OA-OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴
=
，即
=
，
∴C′G=
m．
由平移知，?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′G•C′E=
m（3-m）=-
（m-
）2+
，
∴当m=
时，S有最大值为
．
（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移
个单位，得到抛物线W′，
∵D（2，-1），∴F（6，-
）；
∴抛物线W′的解析式为：y=
（x-6）2-
．
设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如答图3所示：
过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，-1），F（6，-
），∴DP=
，FP=4；
过点N作NQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP=
，
∴N（4+t，-
），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=
（x-6）2-
，得：
（t-2）2-
=-
，
解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0）；
②若点N在x轴上方，（请自行作图）
与①同理，得N（t-4，
）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=
（x-6）2-
，得：
（t-10）2-
=
，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（-2，3）三点，
∴
|
解得：
|
∴抛物线W的解析式为W=
| 1 |
| 4 |
∵W=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴顶点D的坐标为（2，-1）．
（2）由?OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（-2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．
∴BE=3，OE=2，∴EA=OA-OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴
| BC′ |
| BE |
| C′G |
| EA |
| m |
| 3 |
| C′G |
| 2 |
∴C′G=
| 2 |
| 3 |
由平移知，?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′G•C′E=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴当m=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移
| 3 |
| 2 |
∵D（2，-1），∴F（6，-
| 5 |
| 2 |
∴抛物线W′的解析式为：y=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如答图3所示：
过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，-1），F（6，-
| 5 |
| 2 |
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| 2 |
过点N作NQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP=
| 3 |
| 2 |
∴N（4+t，-
| 3 |
| 2 |
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=
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| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
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解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0）；
②若点N在x轴上方，（请自行作图）
与①同理，得N（t-4，
| 3 |
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将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=
| 1 |
| 4 |
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| 1 |
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解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
点评：本题是二次函数压轴题，难度较大．第（1）问考查了待定系数法及二次函数的性质；第（2）问考查了平移变换、平行四边形、相似三角形、二次函数最值等知识点，解题关键是确定重叠部分是一个平行四边形；第（3）问考查了平行四边形、全等三角形、抛物线上点的坐标特征等知识点，解题关键是平行四边形的判定条件．
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