题目内容

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=AD=10，DC=4，动圆⊙O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，过点D作⊙O的切线DP交边CB于点P．
（1）当⊙O与BC相切时（如图1），求CP的长；
（2）当⊙O与BC边没有公共点时，设⊙O的半径为r，求r的取值范围；
（3）若⊙O′是△CDP的内切圆（如图2），试问∠ODO′的大小是否改变？若认为不变，请求出∠ODO′的正切值；若认为改变，请说明理由．
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分析：（1）设⊙O与BC相切于点Q，与DP相切于点K，由题意得DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，则DP+AB=BP+AD，过D作DH⊥AB于H，根据四边形ABCD为直角梯形，得DH=BC，AH=6，设CP=x，则BP=8-x，则在Rt△DCP中，由勾股定理求得x即可；
（2）延长AD、BC交于G，则⊙O为△ABG的内切圆，即可求得AG，BG，再由三角形的面积公式求出圆的半径，即可得出半径的取值范围；
（3）由题意得出∠ODO′=
1
2
∠ADC，再因为AB∥CD，则∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠BDC，∠BDC=
1
2
∠ADC，从而求得tan∠ODO′的值．
解答：精英家教网解：（1）设⊙O与BC相切于点Q，与DP相切于点K，
∵⊙O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，
∴DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，
∴DK+PK+AN+BN=DM+PQ+AM+BQ，即DP+AB=BP+AD．
∵AB=AD，
∴DP=BP．
过D作DH⊥AB于H，
∵ABCD为直角梯形，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴DH=BC，AH=AB-DC=6，
∵AD=10，
∴BC=8．
设CP=x，则BP=8-x，
则在Rt△DCP中，DC2+CP2=DP2，即16+x2=（8-x）2
∴x=3，即CP=3．

（2）图1中，延长AD、BC交于G，则⊙O为△ABG的内切圆，
∵DH⊥AB，
∴AB：AG=cosA=AH：AD，
∴AG=
50
3
，
∴BG=
40
3
，
∵
1
2
(AG+BG+AB)r1=S△ABG=
1
2
AB•BG，
∴r1=
10×
40
3
40
3
+
50
3
+10
=
10
3
．
⊙O为△ABD的内切圆，
在Rt△CBD中，DC=4，CB=8，
∴BD=4
5
，
∵
1
2
(AB+BD+AD)r2=S△ABD=
1
2
AB•DH，
∴r2=
10×8
10+4
5+
10
=
20
5+
5
=5-
5
，
∴5-
5
≤r＜
10
3
．

（3）∠ODO′的大小不变．精英家教网
∵⊙O与AD、DP相切，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∴∠ODO′=∠2+∠3=
1
2
(2∠2+2∠3)=
1
2
∠ADC，
∵在△ABD中，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC=
1
2
∠ADC，
∴tan∠ODO’=tan
1
2
∠ADC=tan∠BDC=
CB
CD
=2．
点评：本题是一道综合性很强的题目，考查了三角形的内切圆和内心、勾股定理、切线长定理、解直角三角形等知识点，难度较大．
练习册系列答案
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精英家教网在直角梯形ABCD中，底AD=6cm，BC=11cm，腰CD=12cm，则这个直角梯形的周长为
 
cm．
精英家教网如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为
 
时，△DAP与△PBC相似．
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，连接DE、CE，AD+BC=CD，以精英家教网下结论：
（1）∠CED=90°；
（2）DE平分∠ADC；
（3）以AB为直径的圆与CD相切；
（4）以CD为直径的圆与AB相切；
（5）△CDE的面积等于梯形ABCD面积的一半．
其中正确结论的个数为（　　）
A、2个B、3个C、4个D、5个
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作精英家教网EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．
7、在直角梯形ABCD中，底AD=6，BC=11，腰CD=13，则周长=
42
．

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