Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，AE⊥BC于E，∠B=60°，∠DAC=45°，AC=

6

，求梯形ABCD的周长？

Answer 1

分析：求出∠ACB=45°，根据勾股定理求出AE、CE，AB、BE，作DF⊥BC于点F，求出CF，推出AD，代入AD+DC+BC+AB求出即可．

解答：解：∵AD∥BC，∠DAC=45°，
∴∠ACB=45°
∵AE⊥BC，AC=

6

，
∴AE=EC=

3

，
∵∠B=60°，
∴BE=1，AB=2，
∴DC=2，
作DF⊥BC于点F，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF，
∵∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE=FC=1，
∴EF=

3

-1，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AD=EF=

3

-1，
∴梯形ABCD的周长为：AD+DC+BC+AB=

3

-1+2+2+2+

3

-1=4+2

3

．
答：梯形ABCD的周长是4+2

3

．

点评：本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．