Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），D是OA的中点，OE⊥CD交BC于点E，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OE运动．

（1）求直线OE的解析式；

（2）设以C，P，D，B为顶点的凸四边形的面积为S，点P的运动时间为t（单位：秒），求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；

（3）设点N为矩形的中心，则在点P运动过程中，是否存在点P，使以P，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x；（2）S=；（3）存在， t=时，P（，），t=时，P（2，2），t=时，P（3，3）．

【解析】分析: （1）先求出∠COE=45°，进而求出CE=OC=2，即可得出结论；

（2）分点P在OM，在ME，OE的延长线上，利用面积的和差即可得出结论；

（3）分三种情况，利用勾股定理建立方程求出时间t，即可得出结论.

详解:

（1）由题意得，OD=OC=2，

∵OE⊥CD，

∴OE平分∠COD，

∴∠COE=∠AOC=45°，

∴OC=CE=2，

∴E（2，2），设直线OE的解析式为y=kx，将点E坐标代入得，2=2k，

∴k=1，

∴直线OE的解析式为y=x；

（2）在Rt△COE中，根据勾股定理得，OE=2，

由题意得，以点C，P，D，B为顶点的图形是四边形，

∴t≠且t，

分三种情况：

设OE与CD的交点为M，

①当点P在OM上运动时，0≤t＜，

S=S矩形OABC﹣S△POC﹣S△POD﹣S△DAB=8﹣﹣﹣2=﹣2t+6；

②当点P在ME上运动时，＜t＜，以点C，P，D，B为顶点的四边形为凹四边形，不符合题意，

③点P在OE的延长线上运动时，t＞，

S=S△CDB+S△PCB==2t；

S=；

（3）存在，理由：PC2=（t）2+（2﹣t）2=4t2﹣4t+4，PN2=（2﹣t）2+（1﹣t）2=4t2﹣6t+5，NC2=5，

①当∠CPN=90°时，PC2+PN2=CN2，

∴4t2﹣4t+4+4t2﹣6t+5=5，

∴t=或t=；

∴P（，）或（2，2）；

②当∠PNC=90°时，CN2+PN2=PC2，

∴5+4t2﹣6t+5=4t2﹣4t+4，

∴t=，

点P（3，3），

③当∠PCN=90°时，PC2+CN2=PN2，4t2﹣4t+4+5=4t2﹣6t+5，

∴t=﹣，此时不存在点P，

即：t=时，P（，），t=时，P（2，2），t=时，P（3，3）．

点睛: 此题是一次函数综合题，主要考查了角平分线的性质，待定系数法，几何图形的面积的计算方法，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本题的关键.