Question

20．如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，∠C=30°，连结AO并延长交BC于点E．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）若AO=1，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理可知$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，所以由圆周角定理可知：∠AOD=2∠C=60°，根据三角形内角和定理即可求出∠CEO=90°
（2）连接OB，分别求出扇形OAB，三角形OAB的面积即可求出阴影部分的面积．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴由圆周角定理可知：∠AOD=2∠C，
∴∠COE=∠AOD=60°，
∴∠CEO=90°，
∴AE⊥BC
（2）连接OB，
由（1）可知：∠OAF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理可知：AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由垂径定理可知：AB=2AF=$\sqrt{3}$
∴△OAB的面积为：$\frac{1}{2}$AB•OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
扇形OAB的面积为：$\frac{120°π×1}{360°}$=$\frac{π}{3}$
∴阴影部分的面积为：$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查圆的综合问题，解题的关键是根据垂径定理求出∠AOB的度数，以及OF、AF的长度，本题属于基础题型．