Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是

BC

的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理

专题：计算题

分析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．

解答：解：连接OC，如图所示．
∵点E是

BC

的中点，
∴∠BOE=∠COE．
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r-1．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB²=BD²+OD²．
∵OB=r，OD=r-1，BD=3，
∴r²=3²+（r-1）²．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD=

1

2

AC．
∴AC=8．

点评：本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．