Question

已知两点A（-3，4）和B（3，-4），
（1）若抛物线y=ax²+bx+c经过A，B两点，求证：方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；
（2）试判断是否存在对称轴是y轴且经过A，B两点的抛物线，并证明你的结论．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，求得a、b、c间的数量关系，然后再计算方程ax²+bx+c=0的根的判别式得到△=b²-4ac，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．
（2）设该抛物线方程为y=kx²+t，然后把点A、B的坐标代入该抛物线方程，看方程组是否有解．

解答：（2）证明：把点A（-3，4）和B（3，-4）分别代入y=ax²+bx+c，得

9a-3b+c=4 9a+3b+c=-4

，
则

a=- c 9 b=- 4 3

，
在方程ax²+bx+c=0中，
∵△=b²-4ac=

16

9

-4×（-

c

9

）c=

4c2

9

+

16

9

＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；

（2）解：不存在对称轴是y轴且经过A，B两点的抛物线，理由如下：
设该抛物线方程为y=kx²+t（k≠0），
把点A（-3，4）和B（3，-4），
代入该抛物线方程，得

9k+t=4 9k+t=-4

，
该方程组无解，
故不存在这样的抛物线．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：常设二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式．也考查了一元二次方程根的判别式．