Question

（2004•玉溪）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且DC切⊙O于C点，∠CAD=30°，延长DC到点E，使∠CAE=∠CAD．
（1）试探求AD与⊙O的半径有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）求证：AC•CD=AE•OD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要探求AD与⊙O半径的数量关系，因为AD=OD+⊙O的半径，即探求OD与⊙O半径的数量关系，为此连接OC，得直角△OCD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出答案；
（2）欲证AC•CD=AE•OD，即证AE：CD=AC：OD，可以通过证明△EAC∽△CDO求出．
解答：（1）解：AD是⊙O半径的3倍．
证明：连接OC，
∵DE是切线
∴OC⊥DE
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA=30°
∴∠COD=∠CAO+∠OCA=60°
∴∠D=30°
∴OD=2OC
∴AD=3OC；

（2）证明：∵∠CAE=∠CAD=30°
∴∠EAD=60°=∠COD
∴OC∥AE
∴∠E=∠OCD=90°
又∠EAC=∠D=30°
∴△EAC∽△CDO
∴AE：CD=AC：OD
∴AC•CD=AE•OD．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和切线的性质．