Question

6．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，请结合图象，解答下列问题：
（1）直接写出方程ax²+bx+c=0的根；
（2）直接写出不等式ax²+bx+c＜0的解集；
（3）请用三种不同的方法求出此函数的解析式．在本题条件下，你最喜欢哪一种？为什么？请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）方程的解就是函数与x轴的交点的横坐标；
（2）不等式ax²+bx+c＜0的解集，就是函数在x轴下方部分自变量x的取值范围；
（3）利用待定系数法求解．设出二次函数的三种一般形式求解．

解答 解：（1）方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；
（2）出不等式ax²+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞3；
（3）方法一：二次函数的对称轴是x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
设二次函数的解析式是y=a（x-1）²+4，
把（-1，0）代入得4a+4=0，
解得a=-1，
则函数的解析式是y=-（x-1）²+4；
方法二：二次函数的顶点坐标是（1，4）．
设二次函数的解析式是y=a（x+1）（x-3），
把（1，4）代入得-4a=4，
解得x=-1，
则函数的解析式是y=-（x+1）（x-3）；
方法三：二次函数的顶点坐标是（1，4）．
设函数的解析式是y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是y=-x²+2x+3．
在本题中我喜欢的是第一种，在已知顶点的情况下，利用顶点式求解较简单．

点评 本题考查了二次函数图象与函数与x轴的交点之间的关系，以及待定系数法，正确设函数的解析式是关键．