Question

正方形ABCD的边长为8，正方形EFGH的边长为3，正方形EFGH可在线段AD上滑动．EC交AD于点M．设AF=x，FM=y，△ECG的面积为s．
（1）求y与x之间的关系；
（2）求s与x之间的关系；
（3）求s的最大值和最小值；
（4）若放宽限制条件，使线段FG可在射线AD上滑动，直接写出s与x之间的关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）先证明△EFM∽△CDM，根据相似三角形对应边的比相等得到=，即，进而得出y=-x+；
（2）先表示出MG=3-y，再由△ECG的面积=△EMG的面积+△CMG的面积即可得出s=x+；
（3）先求出自变量x的取值范围是0≤x≤5，再根据一次函数的性质即可求出s的最大值为12，最小值为；
（4）由于EC交线段AD于点M，线段FG可在射线AD上滑动，得出0≤x＜8，画出5＜x＜8时的图形，根据△ECG的面积=△EMG的面积+△CMG的面积即可得出s=x+．
解答：解：（1）∵EF⊥AD，CD⊥AD，∴EF∥CD，
∴△EFM∽△CDM，∴=，
∴=，即，
∴y=-x+；

（2）∵FG=3，FM=y，
∴MG=FG-FM=3-y．
∵△ECG的面积=△EMG的面积+△CMG的面积，
∴s=×（3-y）×3+×（3-y）×8=×（3-y）×11，
∵y=-x+，
∴s=×（3+x-）×11=x+，
∴s=x+；

（3）∵正方形EFGH在线段AD上滑动，AD=8，FG=3，
∴0≤x≤5．
∵s=x+，＞0，
∴s随x的增大而增大，
∴当x=5时，s有最大值，最大值为×5+=12，
当x=0时，s有最小值，最小值为×0+=．
故s的最大值为12，最小值为；

（4）若线段FG在射线AD上滑动，则0≤x＜8．
①当0≤x≤5时，由（2）知s=x+；
②当5＜x＜8时，如图．
∵FG=3，FM=y，
∴MG=FG-FM=3-y．
∵△ECG的面积=△EMG的面积+△CMG的面积，
∴s=MG•EF+MG•CD=×（3-y）×3+×（3-y）×8=×（3-y）×11，
∵y=-x+，
∴s=×（3+x-）×11=x+，
∴s=x+．
综上可知，当线段FG在射线AD上滑动时，s=x+．
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，一次函数的性质，难度适中，根据相似三角形的判定与性质得到y与x之间的关系是解题的关键．