Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为（4,2），的垂直平分线分别交于点，过点的反比例函数的图像交于点．

（1）求反比例函数的表示式；

（2）判断与的位置关系，并说明理由；

（3）连接，在反比例函数图像上存在点，使，直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数表达式为；（2），证明见解析；（3）．

【解析】

（1）求出点横坐标，也就是.由垂直平分，得到,,

,在，,求出,从而求出.

（2）方法一:通过边长关系可证,为公共角,从而,,;

方法二:求出直线与直线的解析式，系数相等,所以

方法三: 延长交轴于点,证明,四边形是平行四边形, .

（3）求出,根据,设,代入点坐标，求得,与联立,求出的坐标.

（1）连接，

∵垂直平分，∴．

∵，∴．

设，则，

∵四边形矩形，

∴，．

在中，

．即 ．解得．

∴点．

将点的坐标代入中，得．

∴所求反比例函数表达式为．

（2）．

方法一：将代入得，，∴点．

∵，，，，

∴，，，．

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

方法二：将代入得，，∴点．

由（1）知，，．

设直线的函数表达式为，∵点在直线上，∴，∴．

∴设直线的函数表达式为．

设直线的函数表达式为，∵点在直线上，

∴ 解得

∴直线的函数表达式为．

∵直线与直线的值为，∴直线与直线平行．

∴．

方法三：延长交轴于点，

设直线的函数表达式为，∵点在直线上，

∴ 解得

∴直线的函数表达式为．

将代入中，得．∴点．

∴，．

∴．

∵四边形矩形，

∴．

∴四边形是平行四边形．

∴．

（3）．