Question

试求出所有的整数n，使得

24n2+15

3n+2

是整数．

Answer 1

分析：整理

24n2+15

3n+2

∈Z可得

7×11

3n+2

∈Z，根据题意求

24n2+15

3n+2

是整数，故求

7×11

3n+2

∈Z即可求得n的值，即可解题．

解答：解：

24n2+15

3n+2

是整数?

8n(3n+2)-16n+15

3n+2

∈Z（Z为整数的集合）
?8n-

16n-15

3n+2

∈Z
?

16n-15

3n+2

∈Z
?

3•(16n-15)

3n+2

∈Z（∵3与3n+2互素）
?

48n-45

3n+2

∈Z?

16•(3n+2)-77

3n+2

∈Z
?16-

77

3n+2

∈Z?

77

3n+2

∈Z?

7×11

3n+2

∈Z（7和11为素数）
令3n+2=±1得：n=-1
令3n+2=±7得：n=-3
令3n+2=±11得：n=3
令3n+2=±77得：n=25
综上所述，所求的整数n=-3，-1，3，25．

点评：本题考查了正整数的计算，考查了数的整除问题，考查了正负数的讨论，本题中整理得

7×11

3n+2

∈Z是解题的关键．