Question

如图1，A（a，0），B（0，b）其中a、b满足|a+b|=-（b+4）²，BD平分∠ABO交x轴于D．

（1）判断△OAB的形状；
（2）点C为y轴上一点，且OD+CD=OB，判断CD与AB的位置关系，并证明；
（3）如图2．过D作OE⊥BD于E，探究OE+DE于BD之间的等量关系式．

Answer 1

分析：（1）利用非负数的性质得到a+b=0，b+4=0，解出a、b，即可判断△ABO是等腰直角三角形；
（2）分类讨论：当点C在y轴负半轴时，截取OC=OD，则CD=CB，所以∠1=∠2，而∠1=∠3，则∠2=∠3，根据平行线的判定即可得到CD∥AB；当点C在y轴正半轴时，作AC′⊥BD交y轴于C′点，延长C′D交AB于H，根据等腰三角形的判定得到BC′=BA，再根据“SAS”判断△BDC′≌△BDA，DC′=DA，∠BC′D=∠BAD，满足OA=OD+DA=OD+C′D=OB，根据三角形内角和定理可得∠C′OD=∠DAH=90°，则C′D⊥AB；
（3）取BD的中点F，根据直角三角形斜边上的中线性质得OF=BF=DF，即BD=

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2

DF，则∠1=∠FOB，所以∠2=2∠1=45°，于是判断△OEF为等腰直角三角形，则OE=EF，所以DF=DE+EF=DE+OE，由此得到OE+DE=

1

2

BD．

解答：解：（1）∵|a+b|=-（b+4）²，
∴|a+b|+（b+4）²=0，
∴a+b=0，b+4=0，
∴a=4，b=-4，
∴OA=OB=4，
又∵∠AOB=90°，
∴△ABO为等腰直角三角形；

（2）CD与AB的位置关系为平行或垂直．理由如下：
当点C在y轴负半轴时，截取OC=OD，如图1，
∵OD+CD=OB，
∴CD=CB，
∴∠1=∠2，
∵BD平分∠ABO，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥AB；
当点C在y轴正半轴时，作AC′⊥BD交y轴于C′点，延长C′D交AB于H，如图1，
∵BD平分∠ABO，且BD⊥AC′，
∴BC′=BA，
在△BDC′和△BDA中

BC′=BA ∠1=∠3 BD=BD

∴△BDC′≌△BDA（SAS），
∴DC′=DA，∠BC′D=∠BAD，
∴OA=OD+DA=OD+C′D=OB，
而∠C′DO=∠ADH，
∴∠C′OD=∠DAH=90°，
∴C′D⊥AB，
∴CD与AB的位置关系为平行或垂直；

（3）OE+DE=

1

2

BD．理由如下：
在EB上截取点F，使得EF=OE．如图2，
则OF=BF=DF，即BD=

1

2

DF，
∵FO=FB，
∴∠1=∠FOB，
∴∠2=2∠1，
∵∠1=

1

2

×45°，
∴∠2=45°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴OE=EF，
∴DF=DE+EF=DE+OE，
∴OE+DE=

1

2

BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．