题目内容
（1）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；（2）交换（1）中的条件与结论，得到（1）的一个逆命题：
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，E是BC上一点，AE与CD相交于点F，若∠CFE=∠CEF，则∠CAE=∠BAE．你认为这个问题是真命题还是假命题？若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例．
考点：三角形内角和定理,三角形的角平分线、中线和高,命题与定理
专题：
分析：（1）先根据在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高可得出∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，故∠ACD=∠B，再根据AE是角平分线可知∠CAE=∠BAE，进而可得出结论；
（2）由（1）可知∠ACD=∠B，再根据∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF得出∠CAE=∠BAE，进而得出结论．
（2）由（1）可知∠ACD=∠B，再根据∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF得出∠CAE=∠BAE，进而得出结论．
解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE；
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，
∴∠CFE=∠CEF；
（2）真命题．
证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B；
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF，
∴∠CAE=∠BAE，即AE是角平分线．
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE；
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，
∴∠CFE=∠CEF；
（2）真命题．
证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B；
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B，∠CFE=∠CEF，
∴∠CAE=∠BAE，即AE是角平分线．
点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
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