Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；

（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或．

【解析】

（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；

（2）先求出函数的对称轴和直线BC的函数表达式，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，用式子表示出的面积从而求出D的坐标，进一步可得的面积；

（3）根据平行四边形的性质得到，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标．

解：（1）∵OA=2，OB=4，

∴A（-2，0），B（4，0），

将A（-2，0），B（4，0）代入得：

，

解得：

∴抛物线的函数表达式为：；

（2）由（1）可得抛物线的对称轴l：，，

设直线BC：，

可得：

解得，

∴直线BC的函数表达式为：，

如图1，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，

设，则，

∴，

由题意可得

整理得

解得（舍去），

∴，

∴

∴

；

（3）存在

由（1）可得抛物线的对称轴l：，由（2）知，

①如图2

当时，四边形BDNM即为平行四边形，

此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，

∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入

解得

∴此时，四边形BDNM即为平行四边形．

②如图3

当时，四边形BDMN为平行四边形，

过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF

∴此时N点纵坐标为

将y=代入，

得，解得：

∴此时或，四边形BDMN为平行四边形．

综上所述， 或或．