Question

6．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）如图连接OC，只要证明∠DAC=∠ACO，∠ACO=∠CAB即可．
（2）连接BC，只要证明△ADC∽△ACB，得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，再求出AD、AC即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC平分∠BAD．

（2）如图连接BC．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵tan∠ADC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，CD=3，
∴AD=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{AB}$，
∴AB=$\frac{15}{2}$，即⊙O的直径为$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、角平分线的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．