Question

如图，直线l交y轴于C点，与x轴交于D（-4，0），与直线y=-2x+2交于P点，点A为y=-2x+2与y轴的交点，PA=PC，双曲线y=

k

x

（x＜0）与直线l交于E、F两点，且EF=

5

，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：先求得OA、OB、OD，然后根据等边对等角求得∠PAC=∠PCA，进而求得∠OAB=∠PCA，通过三角形相似得出OC，即可得出直线l为：y=2x+8，联立方程得出
2x²+8x-k=0，设E（x₁，

k

x1

），F（x₂，

k

x2

），即可得出x₁+x₂=-4，x₁x₂=-

k

2

，然后根据勾股定理得出含k的方程，解方程即可求得k的值．

解答：解：由直线y=-2x+2可知A（0，2），B（1，0），
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠OAB=∠PCA，
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴△COD∽△AOB，
∴

OC

OA

=

OD

OB

，
∵D（-4，0），A（0，2），B（1，0），
∴OD=4，OA=2，OB=1，
∴OC=

4

1

×2=8，
∴C（0，8），
∵直线l交y轴于C点，与x轴交于D（-4，0），
∴直线l为：y=2x+8，
解

y=2x+8 y= k x

得，2x²+8x-k=0，
设E（x₁，

k

x1

），F（x₂，

k

x2

），
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=-

k

2

，
∵EF=

5

，
∴（x₁-x₂）²+（

k

x1

-

k

x2

）²=5，
5（x₁-x₂）²=5，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
（-4）²-4×（-

k

2

）=1，解得k=-

15

2

点评：本题是反比例函数的综合题，考查了直线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，交点和系数的关系是本题的关键．