Question

3．如图，在正方形ABCD中，AD=2$\sqrt{3}$，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为9-5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2$\sqrt{3}$，解直角三角形得到CE=2$\sqrt{3}$-2，PE=4-2$\sqrt{3}$，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，
∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，
∴∠ABP=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AB=2$\sqrt{3}$，
∵AD=2$\sqrt{3}$，
∴AE=4，DE=2，
∴CE=2$\sqrt{3}$-2，PE=4-2$\sqrt{3}$，
过P作PF⊥CD于F，
∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PE=2$\sqrt{3}$-3，
∴三角形PCE的面积=$\frac{1}{2}$CE•PF=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2）×（2$\sqrt{3}$-3）=9-5$\sqrt{3}$，
故答案为：9-5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．