Question

【题目】已知四边形和四边形都是正方形，且．

（1）如图1，连接、．求证：；

（2）如图2，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．求的度数；

（3）在（2）的条件下，当正方形的边长为时，请直接写出正方形的边长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据正方形的性质可得，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，然后利用SAS即可证出≌，从而得出结论；

（2）连接，由，，得：，利用SAS证出 ，从而证出是等边三角形，得出，即可求出结论；

（3）过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，设CM=x，则GM=x，CG=x，在Rt△BGM中，根据勾股定理，列出方程，即可求解．

证明：（1）∵四边形和是正方形

∴，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°

∴∠BCD＋DCG=∠GCE＋DCG

∴

在和中，

，

∴≌．

∴；

（2）解：如图连接，

，

∴

∵

∴

∴

∴

在和中，

，

∴．

∴，

∴，

∴是等边三角形．

∴；

∵

∴．

（3）解：过点G作GM⊥BC，交BC的延长线于点M，如图2，

∵，

∴∠GCM=45°，

设CM=x，则GM=x，CG=x，

∵正方形的边长为，

∴BC=，BG=BD=4，

∵在Rt△BGM中，BM2+GM2=BG2，

∴，

解得：，（舍）

∴，

即：正方形的边长是：．