Question

18．综合与实践
问题情境：
两张矩形纸片ABCD和CEFC完全相同，且AB=CE，AD＞AB．
操作发现：
（1）如图1，点D在GC上，连接AC，CF，GE，AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由．
实践探究：
（2）如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一直线上吗？请判断，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠ADC=∠GCE=∠CGF=90°，AC=CF，CD=CE，△ADC≌△CGF≌△GCE，得出AC=GE，∠DAC=∠GCF，∠ACD=∠GEC，由角的互余关系得出∠ACD+∠GCF=90°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得：CD=CE，由等腰三角形的性质得出∠CDE=∠CED，证出∠ACD=∠CDE，得出AC∥GE，证出四边形ACEG是平行四边形，得出AG∥CE，由平行线的性质得出∠AGC=∠GCE=90°，证出∠AGC+∠CGF=180°，即可得出结论．

解答 解：（1）AC=CF，AC⊥CF；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFC是矩形，且完全相同，AB=CE，
∴∠ADC=∠GCE=∠CGF=90°，AC=CF，CD=CE，△ADC≌△CGF≌△GCE，
∴AC=GE，∠DAC=∠GCF，∠ACD=∠GEC，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠GCF=90°，
即∠ACF=90°，
∴AC⊥CF；

（2）AG和GF在同一直线上；理由如下：
由旋转的性质得：CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ACD=∠GEC，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥GE，
又∵AC=GE，
∴四边形ACEG是平行四边形，
∴AG∥CE，
∴∠AGC=∠GCE=90°，
∴∠AGC+∠CGF=90°+90°=180°，
∴AG和GF在同一直线上．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．