Question

6．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于P、G两点，过点P作PA⊥x轴，一次函数图象分别交x轴、y轴于C、D两点，$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{2}$，且S_△ADP=6．
（1）求点D坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式；
（3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于一次函数，令x=0求出y的值，即可确定出D坐标；
（2）由AP与y轴平行，得比例，根据OD的长求出AP的长，由三角形ADP面积求出OA的长，确定出P坐标，代入反比例解析式求出m的值，代入一次函数求出k的值，即可确定出各自的解析式；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，确定出G坐标，利用图象确定出一次函数值小于反比例函数值时x的范围即可．

解答 解：（1）对于y=kx+2，令x=0，得到y=2，即D（0，2）；
（2）∵AP∥y轴，∴$\frac{OD}{AP}$=$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{2}$，
∵OD=2，∴AP=4，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$AP•OA=6，
∴OA=3，即P（3，-4），
把P坐标代入反比例解析式得：m=-12，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{12}{x}$，
把P坐标代入y=kx+2中得：-4=3k+2，即k=-2，
∴一次函数解析式为y=-2x+2；
（3）联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=-\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴Q（-2，6），P（3，-4），
则由图象得：当x＞3或-2＜x＜0时，一次函数值小于反比例函数值．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解本题的关键．