Question

已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；
②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），

∴设抛物线的解析式为，
将点B（5，1）代入，得，
解得，
∴
（2）作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，显然，
如图(5.1)，连结分别交x轴、y轴于C、D两点，
∵，
∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是。
而，
∴
四边形ABCD周长的的最小值为。
（3）①点B关于x轴的对称点B′（），点A关于y轴的对称点A′（﹣1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，
∴CD的解析式为：，
联立，
得：
∵点P在上，点Q是OP的中点，
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则．
故的取值范围是：．
②如图：

点E（2，2），当EP=EQ时，，得：，
当时，

当时，．
当时，
当时，．
故的最大值为：．解析:
略