Question

【题目】综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折一折：把边长为的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．如图①：点为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，，，如图②

图① 图②

（一）填一填，做一做：

（1）图②中，_______．线段 _______．

（2）图②中，试判断的形状，并给出证明．

剪一剪、折一折：将图②中的剪下来，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图③、图④．

（二）填一填

图③ 图④

（3）图③中阴影部分的周长为_______．

（4）图③中，若，则_______°．

（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有_______对；

（6）如图④点落在边上，若_______，则_______用含，的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1），（2）是等边三角形（3）；（4）（5）（6）

【解析】

（1）由折叠的性质得，四边形是矩形，得出，，，由折叠的性质得出，，得出，得出，，因此，；

（2）证明得出，即可得出是等边三角形；

（3）由折叠的性质得出，，得出图③中阴影部分的周长的周长；

（4）由折叠的性质得出，，求出，得出，即可得出结果；

（5）证明，即可得出结论；

（6）设，则，证明，得出，设

，，则，，得出，解得：，得出．

解：（1）由折叠的性质得，四边形是矩形，

，，，

将正方形纸片沿直线折叠，使点落在上的点处，

，，

，

，，

，；

故答案为，；

（2）是等边三角形，理由如下：

在与中，，

，

，

，

是等边三角形；

（3）∵将图②中的沿直线折叠，使点落在点处，

，，

图③中阴影部分的周长的周长；

故答案为；

（4）将图②中的沿直线折叠，使点落在点处，

，，

，

，

°，

；

故答案为；

（5）如图③，

，

，，

，

图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有对，

图③

故答案为；

（6）设，则，，

，

，

，

，

，

设，，则，，

，

解得：，

∴；

故答案为．