Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．X|k | B | 1 . c  |O |m

（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

Answer 1

（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，（2分）

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4．（4分）

（2）结论：△AEF的面积S不变化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，（5分）

∴，即，解得CE=．

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t．（6分）

S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE

=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE

=[4+（8﹣t）]×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）（8分）新|课  |标|第  |一| 网

化简得：S=32为定值．所以△AEF的面积S不变化，S=32．（9分）

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，（10分）

∴，即，化简得t²﹣12t+16=0，（11分）

解得：t₁=6+2，t₂=6﹣2，（13分）

由（1）可知，0＜t＜4，∴t₁=6+2不符合题意，舍去．

∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．（14分）