Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B是反比例函数y=

m

x

（x＞0，m＞0）图象上的两个点，且点B的横坐标为4，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D，交AC于点E，连接AB，AD，DC，CB．已知S_△BDC=2，S_△ABD=8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）试判断四边形ADCB的形状，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据B点纵坐标和△BDC的面积可求B点的横坐标，从而求反比例函数解析式；
（2）根据△ABD的面积可求AE的长，从而得AC的纵坐标，代入解析式求横坐标；
（3）根据线段的长度证明△DCE∽△BAE，从而得DC∥AB，证明四边形ADCB为梯形．

解答：解：（1）由点B的横坐标为4知，BD=4．
由S△BDC=

1

2

×BD×CE=2，
可得CE=1，即点B的纵坐标为1，
∴B（4，1）．
将B（4，1）代入y=

m

x

，得m=4，
∴反比例函数的解析式是y=

4

x

；（3分）

（2）由S△ABD=

1

2

×BD×AE=8，可得AE=4，
∴AC=AE+CE=4+1=5，
∴点A的纵坐标为5．
设点A的横坐标为n，则由点A在反比例函数y=

4

x

上，可得n=

4

5

，
即点A的坐标为（

4

5

，5）；

（3）由（1）（2）得，AE=4，CE=1，DE=

4

5

，BE=4-

4

5

=

16

5

．
∴

AE

CE

=

BE

DE

=4，
又∠AEB=∠CED=90°，
∴△CED∽△AEB，
∴∠ABE=∠CDE，
∴AB∥CD．（10分）
又AB=

AE2+EB2

=

4 41

5

，CD=

OD2+OC2

=

41

5

，
显然，AB＞CD．（12分）
∴四边形ADCB是梯形．

点评：此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、结合有关图形的面积求相关点的坐标以及相似三角形的判定和性质、梯形的定义等知识点，综合性较强，但难度中等．