Question

【题目】如图1，共直角边AB的两个直角三角形中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC交BD于P，且tan∠C＝．

（1）求证：AD＝AB；

（2）如图2，BE⊥CD于E交AC于F．

①若F为AC的中点，求的值；

②当∠BDC＝75°时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①，②

【解析】

（1）根据AD∥BC得＝，又tan∠C＝故，故AD＝AB．

（2）①在图2中，过D作DH⊥BC于H，延长BE交AD延长线于G，易证ABHD为正方形，设其边长为a，DG＝b，根据△ABC∽△DGC，得到a、b的关系即可解决问题．

②根据条件推出∠HDC＝30°，设CH＝m，则DC＝2CH＝2m，BH＝DH＝mｃ，从而表示出EC和DE，即可求出结论．

解：（1）∵∠DAB+∠ABC＝180°，

∴AD∥BC，

∴＝，

∵tan∠C＝＝

∴，

∴AD＝AB．

（2）①在图2中，过D作DH⊥BC于H，延长BE交AD延长线于G，连接CG，易证ABHD为正方形，设其边长为a，DG＝b，

∵AG∥BC，

∴，

∵AF＝FC，

∴AG＝BC，

∴四边形ABCG是平行四边形，

∵∠ABC＝90°

∴四边形ABCG是矩形，

∴FB＝FC，∠BCG＝∠AGC＝90°，

∴∠FBC＝∠FCB，

∵∠FBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ECG＝90°，

∴∠ECG＝∠FBC，

∴∠DCG＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠DGC＝90°

∴△ABC∽△DGC，

∴，

∴，

∴a2﹣ab﹣b2＝0，

∴a＝（或a＝舍弃），

∵DG∥BC，

∴＝＝＝＝，

②由1可知四边形ABHD是正方形，

∴∠BDH＝45°，BH＝DH

∵∠BDC＝75°，

∴∠HDC＝30°，∠DCH=60°

设CH＝m，则DC＝2CH＝2m，BH＝DH＝m

∴EC＝BC·cos∠DCH＝（m+m），DE＝DC﹣CE＝2m﹣（m+m），

∴＝＝．