Question

如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，
求证：BD=OB．

Answer 1

分析：连接OC，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC与CD垂直，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，由∠A的度数求出∠OCA的度数，而∠COD为三角形AOC的外角，利用外角性质求出∠COD的度数，进而得到∠D=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OC为OD的一半，可得出OB为OD的一半，即B为OD中点，即可得到BD=OB，得证．

解答：证明：连接OC，
∵CD与圆0相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
∵∠COD为△AOC的外角，
∴∠COD=60°，
∴∠D=30°，
∴OC=

1

2

OD，
∴OB=

1

2

OD，即B为OD的中点，
则OB=BD．

点评：此题考查了切线的性质，外角性质，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．