Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．

（1）求点，点，点的坐标；

（2）求直线的解析式；

（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或

【解析】

（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；
（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，-2），解方程即可得到结论；
（3）设点Q的坐标为（m，- m+2），分两种情况：①当∠QBD=90°时，根据勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合题意，舍去），②当∠QDB=90°时，根据勾股定理列方程求得m=8，m=-1，于是得到结论．

解：（1）当时，，即点坐标为；

当时，即，

解得，

即．

（2）∵点与点关于轴对称，

．

设直线的解析式为，

将点坐标代入解析式，

得解得

∴直线的解析式为y=x-2．

（3）存在．∵点的坐标为轴交抛物线于点，

∴点的坐标为．

是以为直角边的直角三角形，

①当时，由勾股定理，得，

即，

解得（不符合题意，舍去），

；

②当时，由勾股定理，得，

即，

解得，

或．

综上所述，存在点的坐标为或或，使是以为直角边的直角三角形．