Question

如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．

Answer 1

分析：连接UV，根据等底等高的三角形的面积相等，推出S_{四边形PUQV}=S_△APD+S_△BQC，再利用面积公式求出面积，进一步根据不等式的性质即可求出四边形PUQV面积的最大值．

解答：解：连接UV，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
根据等底等高的三角形的面积相等得到：S_△APD=S_△UVP，S_△QUV=S_△BQC，
∴S_{四边形PUQV}=S_△APD+S_△BQC，
过P做PE⊥AD于E，过Q做QF⊥BC于F，
设：PE=x，QF=y，
∴S_{四边形PUQV}=

1

2

（x+y），
设AU=a，DV=b，
则

x

a

+

x

b

=DE+AE=1，
故x=

ab

a+b

，
同理y=

(1-a)(1-b)

(1-a)+(1-b)

=

(1-a)(1-b)

2-a-b

，
∴S_{四边形PUQV}=

1

2

[

ab

a+b

+

(1-a)(1-b)

2-a-b

]，
=

(a+b)-(a2+b2)

2(a+b)(2-a-b)

=

2(a+b)-a2-b2-(a2+b2)

4(a+b)(2-a-b)

≤

2(a+b)-a2-b2-2ab

4(a+b)(2-a-b)

=

(a+b)(2-a-b)

4(a+b)(2-a-b)

=

1

4

（因为（a-b）²≥0）²+b，
等号当且仅当a=b时成立，
故四边形PUQV面积最大值是

1

4

．

点评：本题主要考查了面积及等积变换，三角形的面积不等式的性质等知识点，解此题的关键是利用不等式的性质求最大值，此题难度较大．