题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB
（1）求点B的坐标；
（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（3）直线y= $数学公式$ x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；
（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，
∵△OAB是等边三角形，
∴OE=2，BE=2 $\text{[math]}$ ，
∴点B的坐标为（2，2 $\text{[math]}$ ）；

（2）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2 $\text{[math]}$ ）是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+2 $\text{[math]}$ ，
当x=0时，y=0，
∴0=a（0-2）²+2 $\text{[math]}$ ，
∴a=- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+2 $\text{[math]}$ ，
即：y=- $\text{[math]}$ x²+2 $\text{[math]}$ x；

（3）设点C的横坐标为x，则纵坐标为 $\text{[math]}$ x，
即点C的坐标为（x， $\text{[math]}$ x）代入抛物线的解析式得： $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ x²+2 $\text{[math]}$ x，
解得：x=0或x=3，
∵点C在第一象限，
∴x=3，
∴点C的坐标为（3， $\text{[math]}$ ）；

（4）存在．
设点D的坐标为（x，- $\text{[math]}$ x²+2 $\text{[math]}$ x），△OCD的面积为S，
过点D作DF⊥x轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（x， $\text{[math]}$ x），
作CM⊥DF于点M，
则OF+CM=3，DG=- $\text{[math]}$ x²+2 $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
∴S=S_△OCD=S_△DGO+S_△DGC= $\text{[math]}$ DG•OF+ $\text{[math]}$ DG•CM= $\text{[math]}$ DG•（OF+CM）= $\text{[math]}$ DG×3
= $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x）×3，
∴S=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴△OCD的最大面积为 $\text{[math]}$ ，此时点D的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）利用点A的坐标为（4，0），△OAB是等边三角形，作高后利用勾股定理可以求出；
（2）题利用顶点式可以求出解析式；
（3）由直线y= $\text{[math]}$ 与抛物线相交，用x表示出点C的坐标，即可求出；
（4）假设存在这样一个点，用x表示出点D的坐标，即可求出．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及一次函数与二次函数综合应用，还有二次函数最值问题，综合性比较强，题目很典型．