Question

6．已知关于x的方程x²-（2m+1）x+4m-2=0．
①求证：无论m取何值，方程总有实数根；
②如果等腰△ABC的一边a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
（2）注意：分b=c，b=a两种情况做．

解答 （1）证明：△=（2m+1）²-4×1×（4m-2）=（2m-3）²，
∵无论k取何值，（2m-3）²≥0，即△≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；

（2）解：①当b=c时，则△=0，
即（2m-3）²=0，
∴m=$\frac{3}{2}$，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∵2+2=4，
∴此三角形不存在；

②解：当b=a=4时，
∵x²-（2m+1）x+4m-2=0．
∴16-4（2m+1）+4m-2=0，
∴4m=10，
∴x²-6x+8=0，
∴x₁=2，x₂=4，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+4+2=8；
综上所述，△ABC的周长为8．

点评 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．