Question

【题目】如图所示，AC⊥AB，，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O 上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设．

(1)当时，求弧BD的长；

(2)当时，求线段BE的长；

(3)若要使点E在线段BA的延长线上,则的取值范围是 .(直接写出答案)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）60°＜α＜90°．

【解析】

（1）首先连接OD，由圆周角定理，可求得∠DOB的度数，又由⊙O的直径为2，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案；
（2）首先证得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的对应边成比例，可得=，继而求得答案；
（3）首先求得A与E重合时α的度数，则可求得点E在线段BA的延长线时，α的取值范围．

解：（1）

如图，连接OD，

∵α＝20°，∴∠DOB＝2α＝40°，

∵AB＝2，

∴⊙O的半径为：，

∴的长为＝；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，∵α＝30°，∴∠B＝60°，∵AC⊥AB，DE⊥CD，

∴∠CAB＝∠CDE＝90°，∴∠CAD＝90°﹣α＝60°，

∴∠CAD＝∠B，∵∠CDA+∠ADE＝∠ADE+∠BDE＝90°，

∴∠CDA＝∠BDE，∴△ACD∽△BED，

∴=，∵AB＝2，α＝30°，

∴BD＝AB＝，∴AD＝＝3，

∴=，∴BE＝；

（3）

如图，当E与A重合时，

∵AB是直径，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共线，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，
∴tan∠ABC==，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°-∠ABC=60°，
当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB=60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．