Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合） BE+CF=EF．
上述结论中始终正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，∠EAP=∠FCP=45°
∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC，①②③正确；
故AE=FC，BE=AF，
∴AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，故④不成立．
始终正确的是①②③．故选C．

点评：此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定．