Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，抛物线的顶点为，规定：抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”(不包含边界)．

(1)如果该抛物线经过(1，3)，求的值，并指出此时“区域”有_____个整数点；(整数点就是横纵坐标均为整数的点)

(2)求抛物线的顶点的坐标(用含的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，如果区域中仅有4个整数点时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)6；(2)顶点的坐标为；(3)或．

【解析】

（1）将点(1，3)代入抛物线解析式中，即可求出值，再分别计算当时，对应的函数值，进而可得在“区域”内整数点的坐标，由此可得结论；

（2）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点的坐标；

（3）分及两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形得出关于的不等式组，解之即可得出结论．

解：（1）∵抛物线经过(1，3)，∴，解得：．

当时，，，∴点，点．

当时，，∴(0，1)、(0，2)两个整数点在“区域”；

当时，，∴(1，1)、(1，2)两个整数点在“区域”；

当时，，∴(2，1)、(2，2)两个整数点在“区域”．

综上所述：此时“区域”有6个整数点．

故答案为：6．

（2）∵，∴顶点的坐标为．

（3）当时，，∴抛物线与轴的交点坐标为．

当时，如图1所示，此时有，解得：；

当时，如图2所示，此时有，解得：．

综上所述：在（2）的条件下，如果区域中仅有4个整数点时，则的取值范围为或．