Question

【题目】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下：

当时，点的坐标为；当时，点的坐标为．

（1）点的变换点的坐标是　 　；点的变换点为，连接，则　 　°；

（2）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为．点在抛物线上，点的变换点为．若点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，求的值；

（3）若点是函数图象上的一点，点的变换点为，连接，以为直径作，的半径为，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，1）；90°；（2）或或；（3）的取值范围是．

【解析】

（1）依据对应的定义可直接得点、的坐标，然后依据题意画出图形，过点作轴，垂足为，过点轴，垂足为．接下来证明.由全等三角形的性质得到，然后可求得.

（2）抛物线的顶点E的坐标为E（-2，m），m>0，设点P的坐标为

，①若，则点的坐标为．

然后依据点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，可得到关于x和m的方程组，从而可求得m的值；②若，则点的坐标为．同理可列出关于x、m的方程组，从而求得m的值；

（3）设点F的坐标为，依据题意可得到点的坐标为，然后依据两点间的距离公式可得到的长度与x的函数关系式，从而可求得的取值范围，然后可求得r的取值范围.

（1）∵点，3＞1，

∴点的对应点的坐标是（﹣3，1）．

∵，﹣4＜2，

∴点的变换点为的坐标为（﹣2，﹣4）．

过点作轴，垂足为，过点轴，垂足为．

∵，

∴．

在和中，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

故答案为：（﹣3，1）；90°．

（2）由题意得的顶点的坐标为．

∵点在抛物线上，

∴设点的坐标为．

①若，则点的坐标为．

∵点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，

∴

∴，符合题意。

②若，则点的坐标为．

∵点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，

∴

∴或，符合题意．

综上所述，或或．

（3）设点的坐标为．

当时，解得：，不合题意．

当时，解得：，符合题意．

∵点的坐标为，且，

∴点的坐标为．

∴．

∴当时，有最小值，的最小值，当时，有最大值，的最大值．

∴的取值范围为：．

∵，

∴的取值范围是．