题目内容
已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．（1）当点E在线段BC上时，求证：BE=CF；
（2）设BE=x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；
（3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．
分析：（1）连接AC，通过证明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE=CF；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，先根据勾股定理求出AH的长，又CF=BE=x，DF=6-x，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式；
（3）根据题意画出图形，并连接BD，先根据四边形BDFA是平行四边形，证出∠BAE为直角，在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6，继而即可求出BE的长．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，先根据勾股定理求出AH的长，又CF=BE=x，DF=6-x，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式；
（3）根据题意画出图形，并连接BD，先根据四边形BDFA是平行四边形，证出∠BAE为直角，在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6，继而即可求出BE的长．
解答：
解：（1）连接AC（如图1）．
由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
易得：BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴△ABC是等边三角形．
∴AB=AC．
又∵∠BAE+∠MAC=60°，∠CAF+∠MAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H（如图2）
在Rt△ADH中，∠D=60°，∠DAH=90°-60°=30°，
∴DH=
AD=
×6=3.AH=
=
=3
．
又CF=BE=x，DF=6-x，
∵S△ADF=
DF•AH，
∴y=
×(6-x)×(3
)，
即y=-
x+9
（0＜x＜6）．
（3）①当点F在CD的延长线上时，
如图3，连接BD，易得∠ADB=
∠ADC=30°．
当四边形BDFA是平行四边形时，AF∥BD．
∴∠FAD=∠ADB=30°．
∴∠DAE=60°-30°=30°，∠BAE=120°-30°=90°．
在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6．
易得：BE=2AB=2×6=12；
②当点F与C重合时，此时点E与点B重合（不合题意舍去）．
解：（1）连接AC（如图1）．由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
易得：BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴△ABC是等边三角形．
∴AB=AC．
又∵∠BAE+∠MAC=60°，∠CAF+∠MAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H（如图2）
在Rt△ADH中，∠D=60°，∠DAH=90°-60°=30°，
∴DH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AD2-DH2 |
| 62-32 |
| 3 |
又CF=BE=x，DF=6-x，
∵S△ADF=
| 1 |
| 2 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
即y=-
3
| ||
| 2 |
| 3 |
（3）①当点F在CD的延长线上时，
如图3，连接BD，易得∠ADB=
| 1 |
| 2 |
当四边形BDFA是平行四边形时，AF∥BD．
∴∠FAD=∠ADB=30°．
∴∠DAE=60°-30°=30°，∠BAE=120°-30°=90°．
在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6．
易得：BE=2AB=2×6=12；
②当点F与C重合时，此时点E与点B重合（不合题意舍去）．
点评：本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难度，关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用．
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