Question

如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：
①求证：∠P=∠1+∠A+∠2；
②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？
③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由．

Answer 1

解：①连接AP并延长，则∠3=∠1+∠BAP，∠4=∠2+∠PAC，
故∠P=∠1+∠A+∠2；

②∵∠1是△DBF的外角，∴∠1=∠B+∠D，
同理∠2是△ECG的外角，∴∠2=∠C+∠E，
∵∠1、∠2、∠A是△AFG的内角，
∴∠1+∠2+∠A=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

③连接AP、AD、AG并延长，
同①由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．
分析：①连接AP并延长，再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠P=∠1+∠A+∠2；
②先把五角星五个“角”归结到一个三角形中，再根据三角形内角和定理解答即可；
③分别连接AP、AD、AG并延长，再根据三角形外角的性质解答即可．
点评：本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，解答此题的关键是构造出三角形，利用三角形内角与外角的关系求解．