阅读如图的情景对话.然后解答问题:(1)根据“内外等比多边形的定义.请你判断小华提出的命题:“平行四边形一定是内外等比四边形是真命题还是假命题?并说明理由．(2)已知内外等比四边形ABCD的四个内角分别是∠1.∠2.∠3.∠4.∠1:∠2:∠3:∠4=a:b:c:d.请探索a.b.c.d之间的关系式.并说明理由．(3)请回答小明的问题“三角形中有内外等比三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．阅读如图的情景对话，然后解答问题：

（1）根据“内外等比多边形”的定义，请你判断小华提出的命题：“平行四边形一定是内外等比四边形”是真命题还是假命题？并说明理由．
（2）已知内外等比四边形ABCD的四个内角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠1：∠2：∠3：∠4=a：b：c：d（a≤b≤c≤d），请探索a，b，c，d之间的关系式，并说明理由．
（3）请回答小明的问题“三角形中有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？”请说明理由．

分析（1）表示出四个内角及四个外角，继而可作出判断；
（2）分别表示出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，根据内角中∠1最小，外角中∠8最大，判断∠8是和∠1相邻的外角，继而可得出结论；
（3）设出等比三边形ABC的内角及外角，同（2）表示出各角，寻找关系，最终确定结论．

解答解：（1）真命题．
设平行四边形ABCD的四个内角分别是∠A=x，∠B=180-x，∠C=x，∠D=180-x，
则对应的四个外角度数分别为180-x，x，180-x，x，
四个内角和四个外角按从小到大排列完全相等，所以它们的比相等．
所以平行四边形一定是内外等比四边形是真命题．

（2）a+d=b+c．
设内外等比四边形的四个外角分别为∠5，∠6，∠7，∠8，
∵∠1：∠2：∠3：∠4=∠5：∠6：∠7：∠8=a：b：c：d，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠1=$\frac{a}{a+b+c+d}$×360°=∠5，同理∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，
∵内角中∠1最小，外角中∠8最大，
∴∠8是和∠1相邻的外角，
∴∠1+∠8=180°．
即∠1+∠4=180°，
∴∠2+∠3=180°，从而∠1+∠4=∠2+∠3．
也即$\frac{a}{a+b+c+d}$×360+$\frac{d}{a+b+c+d}$×360=$\frac{b}{a+b+c+d}$×360+$\frac{c}{a+b+c+d}$，
于是a+d=b+c．

（3）设内外等比三边形ABC的三个内角分别是∠1，∠2，∠3，∠1：∠2：∠3=a：b：c（a≤b≤c），它的三个外角分别是∠4，∠5，∠6
∵∠1：∠2：∠3=∠4：∠5：∠6=a：b：c，∠1+∠2+∠3=180°，∠4+∠5+∠6=360°
∴∠1=$\frac{a}{a+b+c}$×180，∠2=$\frac{b}{a+b+c}$×180，∠3=$\frac{c}{a+b+c}$×180，
∠4=$\frac{a}{a+b+c}$×360，∠5=$\frac{b}{a+b+c}$×360，∠6=$\frac{c}{a+b+c}$×360，
∴∠4=2∠1，∠5=2∠2，∠6=2∠3．
∵内角中∠1最小，外角中∠6最大，
∴∠1+∠6=180
内角中∠3最大，外角中∠4最小，
∴∠3+∠4=180，
∴∠1+2∠3=180 ①
∠3+2∠1=180 ②
①-②得∠3-∠1=0，即∠3=∠1，即a=c，
∵a≤b≤c
∴a=b=c
所以内外等比三角形只能是等边三角形．
所以三角形中只有等边三角形是内外等比三角形．