Question

【题目】对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等最距离”为0．

（1）请分别判断函数，，有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；

（2）已知函数．

①若其“等量距离”为0，求的值；

②若，求其“等量距离”的取值范围；

③若“等量距离”，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数没有“等量值”；，函数有-1和1两个“等量值”，其“等量距离”为2；函数有0和1两个“等量值”，其“等量距离”为1；（2）①；②；（3）的取值范围为或．

【解析】

（1）根据定义分别求解即可求得答案；

（2）①首先由函数y=2x2-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由“等量距离”为0，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得“等量距离”的取值范围；

③由②可知，，解不等式组，即可得到答案．

解：（1）函数没有“等量值”，

函数有和1两个“等量值”，其“等量距离”d为2．

函数有0和1两个“等量值”，其“等量距离”d为1．

（2）①∵函数的“等量距离”为零，

令，则，

∴，

∴，，

∴，

∴．

②解方程，

得：，．

∵，

∴．

∴，

∴函数的“等量距离”的取值范围为：．

③由②可知，，

∴或，

∴或；

∴的取值范围为或．