Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当t=4时，B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知数的值，从而求出其解析式；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．即

BE

AO

=

CE

BO

=

BC

AB

=

1

2

，BE=

1

2

AO=3，CE=

1

2

OB=

t

2

故点C的坐标为（t+3，

t

2

）．由于AB⊥BC，AB=2BC，∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=BC²．在Rt△EBC中，由勾股定理得BC²=CE²+BE²=

1

4

t²+9，即S_△ABC=

1

4

t²+9．
（3）①当t≥0时Ⅰ，若AD=BD．由于BD∥y轴，故∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，所以∠OAB=∠BAD．因为∠AOB=∠ABC，所以△ABO∽△ACB，故

OB

AO

=

BC

AB

=

1

2

，即

t

6

=

1

2

，∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．延长AB与CE交于点G，由于BD∥CG∴AG=AC过点A画AH⊥CG于H．CH=HG=

1

2

CG，由△AOB∽△GEB，
得

GE

BE

=

AO

OB

，故GE=

18

t

．由于HE=AO=6，CE=

t

2

，t²-24t-36=0，解得：t=12±6

5

．因为t≥0，所以t=12+6

5

，即B（12+6

5

，0）．
Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为顿角，故BD≠AB．当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．故当t≥0时，不存在BD=AB的情况．
②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．可求得点C的坐标为（t+3，

t

2

），
∴CF=OE=t+3，AF=6-

t

2

，由BD∥y轴，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB故∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC，∴

BO

CF

=

AO

AF

，求得t的关系式t²-24t-36=0，解得：t=12±6

5

．因为-3≤t＜0，所以t=12-6

5

，即B（12-6

5

，0）．
③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，可求得点C的坐标（t+3，

t

2

），故CF=-（t+3），AF=6-

t

2

，由于AB=BD，故∠D=∠BAD．又因为BD∥y轴，故∠D=∠CAF，∠BAC=∠CAF．又因为∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，所以△ABC≌△AFC，故AF=AB，CF=BC，∴AF=2CF，即6-

t

2

=-2（t+3），解得：t=-8，即B（-8，0）．

解答：解：（1）当t=4时，B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：

b=6 4k+b=0

，
解得：

k=- 3 2 b=6

，
∴直线AB的解析式为：y=-

3

2

x+6．

（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴

BE

AO

=

CE

BO

=

BC

AB

=

1

2

，
∴BE=

1

2

AO=3，CE=

1

2

OB=

t

2

，
∴点C的坐标为（t+3，

t

2

）．
方法一：
S_梯形AOEC=

1

2

OE•（AO+EC）=

1

2

（t+3）（6+

t

2

）=

1

4

t²+

15

4

t+9，
S_△AOB=

1

2

AO•OB=

1

2

×6•t=3t，
S_△BEC=

1

2

BE•CE=

1

2

×3×

t

2

=

3

4

t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC
=

1

4

t²+

15

4

t+9-3t-

3

4

t
=

1

4

t²+9．

方法二：
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=BC²．
在Rt△EBC中，BC²=CE²+BE²=

1

4

t²+9，
即S_△ABC=

1

4

t²+9．

（3）存在，理由如下：
①当t≥0时，
Ⅰ．若AD=BD，
又∵BD∥y轴，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴

OB

AO

=

BC

AB

=

1

2

，
∴

t

6

=

1

2

，
∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．
延长AB与CE交于点G，
又∵BD∥CG，
∴AG=AC，
过点A画AH⊥CG于H．
∴CH=HG=

1

2

CG，
由△AOB∽△GEB，
得

GE

BE

=

AO

OB

，
∴GE=

18

t

．
又∵HE=AO=6，CE=

t

2

，
∴

18

t

+6=

1

2

×（

t

2

+

18

t

），
∴t²-24t-36=0，
解得：t=12±6

5

．因为t≥0，
所以t=12+6

5

，即B（12+6

5

，0）．
Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB．
当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．
∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况．
②当-3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD=AB
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．
可求得点C的坐标为（t+3，

t

2

），
∴CF=OE=t+3，AF=6-

t

2

，
由BD∥y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴

BO

CF

=

AO

AF

，
∴

-t

t+3

=

6

6- t 2

，
∴t²-24t-36=0，
解得：t=12±6

5

．因为-3≤t＜0，
所以t=12-6

5

，即B（12-6

5

，0）．
③当t＜-3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
可求得点C的坐标为（t+3，

t

2

），
∴CF=-（t+3），AF=6-

t

2

，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD∥y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6-

t

2

=-2（t+3），
解得：t=-8，即B（-8，0）．
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，
此时点B坐标为：B₁（3，0），B₂（12+6

5

，0），B₃（12-6

5

，0），B₄（-8，0）．

点评：本题比较繁琐，难度很大，解答此题的关键是画出图形作出辅助线，结合等腰三角形，全等三角形的判定及性质解答．体现了数形结合在解题中的重要作用．