题目内容
【题目】我们不妨约定：在直角△ABC中，如果较长的直角边的长度为较短直角边长度的两倍，则称直角△ABC为黄金三角形
（1）已知：点O（0，0），点A（2，0），下列y轴正半轴上的点能与点O，点A构成黄金三角形的有 ；填序号①（0，1）；②（0，2）；③（0，3），④（0，4）；
（2）已知点P（5，0），判断直线y=2x-6在第一象限是否存在点Q，使得△OPQ是黄金三角形，若存在求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；
（3）已知：反比例函数
与直线y=-x+m+1交于M，N两点，若在x轴上有且只有一个点C，使得∠MCN=90
，求m的值，并判断此时△MNC是否为黄金三角形．
【答案】（1）①④；（2）Q坐标为（5，4）；（3）是黄金三角形
【解析】
（1）根据黄金三角形的定义即可判断．
（2）假设存在．设Q(m,2m6)，分两种情形分别求解即可．
（3）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中点为k，当点K到x轴的距离等于
时，满足条件．根据一元二次方程的根与系数的关系，构建方程求出m即可判断．
解：（1）因为点
（0，0），点
（2，0），根据黄金三角形的定义可知在y轴正半轴上的点
与原点的线段长度为1或者4，故结合题目可知与点，点构成黄金三角形的有
或
，故答案为①④．
（2）假设存在．设
，
是直角三角形，当
是直角三角形时，
，
，解得：
和4，
点
在第一象限，
，
，
，
，
，
是黄金三角形，
当
时，
，此时
不满足黄金三角形的定义．
满足条件点点坐标为
．
（3）设
，
，
，
，
的中点为
，当点到
轴的距离等于 时，满足条件．
由
，消去
得到：
，
，
，
．
，
，
，
，
整理得：
，
，
如图，作
轴于
．
直线的解析式为
，
，
，
，
，
，
，
，
不是黄金三角形．
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