题目内容

已知点P是直线y=kx（k＞0）上一定点，点A是x轴上一动点（不与原点重合），连接PA，过点P作PB⊥PA，交y轴于点B，探究线段PA与PB的数量关系．

（Ⅰ）如图（1），当PA⊥x轴时，观察图形发现线段PA与PB的数量关系是______；
（Ⅱ）当PA与x轴不垂直时，在图（2）中画出图形，线段PA与PB 的数量关系是否与（Ⅰ）所得结果相同？写出你的猜想并加以证明；
（Ⅲ）k为何值时，线段PA=PB？此时∠POA的度数是多少，为什么？

解：（Ⅰ）∵PA⊥x轴，PB⊥PA，OB⊥OA，
∴PB∥x轴，PA∥y轴，
∴点P的坐标为（PB，PA），
∵点P是直线y=kx（k＞0）上一定点，
∴PA=kPB．
故答案为：PA=kPB．

（Ⅱ）如图2，过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
则∠PDB=∠PCA=90°，
设P（x₀，kx₀），
∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD．
∴Rt△APC∽Rt△BPD，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =k，
∴PA=kPB．

（Ⅲ）当k=1时，PA=PB，此时∠POA=45°或∠POA=135°．
理由：由（Ⅱ）得：PA=kPB，
则当k=1时，PA=PB．
∵Rt△APC∽Rt△BPD，
∴Rt△APC≌Rt△BPD，
∴PC=PD，
即点P到x轴、y轴的距离相等，
∴直线y=kx（k=1）平分一、三象限的夹角．
∴∠POA=45°或∠POA=135°（如图3）．
分析：（Ⅰ）由PA⊥x轴，PB⊥PA，OB⊥OA，可得点P的坐标为（PB，PA），又由点P是直线y=kx（k＞0）上一定点，即可得PA=kPB；
（Ⅱ）首先过P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设P（x₀，kx₀），易证得Rt△APC∽Rt△BPD，由相似三角形的对应边成比例，易证得PA=kPB；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：PA=kPB，当k=1时，PA=PB，可证得Rt△APC≌Rt△BPD，则可得PC=PD，即可得直线y=kx（k=1）平分一、三象限的夹角，继而求得∠POA的度数．
点评：此题考查了一次函数的性质、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．